• Nilpotentne orbite in komutirajoče matrike
Naročnik: Javna agencija za raziskovalno dejavnost RS
Tip projekta: Bilaterarni projekti
Trajanje projekta: 2019 - 2020
  • Opis

Pregled Osnove matričnega računa in širše linearne algebre so ključnega pomena za razumevanje teorije podatkovnih ved, strojnega učenja (zlasti globokega učenja), uravnoteženja kemijskih enačb, inženirskega načrtovanja,... Analiza masivnih podatkov je postala ključni del današnje industrije in uporaba metod za analizo podatkov sega od aplikacij v okoljskem inženirstvu in pri proizvodnji živil (npr. za ugotavljanje, kateri tip gnojila je najbolj primeren za določeno vrsto zemljišča), za aplikacije v vesoljski industriji in na finančnih trgih (npr. napoved gibanja cen danega portfelja). Med mnogimi tehnikami, ki so bile razvite za analizo podatkov, je najbolj pogosto uporabljeno strojno učenje. Razvite metode strojnega učenja so na stičišču številnih področij matematike in računalništva. V središču skoraj vseh metod leži linearna algebra, ki se uporablja v vsej znanosti in inženirstvu, saj nam omogoča modeliranje naravnih pojavov. Matrično množenje ni komutativna operacija in preučevanje parov komutirajočih matrik ima dolgo zgodovino. Pari komutirajočih matrik se ne preučujejo le v različnih vejah matematike (npr. v linearni algebri, teoriji Liejevih algeber, diferencialnih in parcialnih diferencialnih enačbah, kombinatoriki itd.), temveč imajo tudi veliko aplikacij v računalništvu, fiziki, itd. Poleg tega obstaja naravno delovanje polenostavnih Liejevih algeber na množici nilpotentnih elementov s konjugacijo. Orbite te konjugacije imenujemo nilpotentne orbite. Poleg njene matematične pomembnosti v geometriji in teoriji reprezentacij imajo tudi nilpotentne orbite pomemben vpliv na teoretično fiziko, zlasti na problem proučevanja asimptotično ravnih rešitev črne luknje za razširjene supergravitacije. V tem kontekstu so še posebej pomembne realne polenostavne Liejeve algebre, ki dovoljujejo Z_2-stopničenje. Cilji in področja uporabe Opis strukture raznoterosti komutirajočih matrik se je izkazal za težavno nalogo in je kljub svoji dolgi zgodovini in zelo aktivnemu raziskovanju v zadnjih letih še vedno nepopoln. Struktura raznoterosti komutirajočih parov matrik in komutirajočih parov nilpotentnih matrik še ni dobro razumljena. Motzkin in Taussky sta dokazala, da je raznoterost parov komutirajočih matrik nerazcepna, medtem ko je Guralnick pokazal, da to ne velja več za raznoterost trojic komutirajočih matrik. Je pa raznoterost komutirajočih parov nilpotentnih matrik prav tako nerazcepna. Naša motivacija za preučevanje problema je prispevati k boljšemu razumevanju strukture te raznoterosti, ki bi lahko tudi pomagala pri razumevanju nerazcepnosti raznoterosti trojic komutirajočih matrik. Cilj tega projekta je razumeti presek parov nilpotentnih orbit z raznoterostjo parov komutirajočih matrik. Odgovor na to vprašanje bi lahko razumeli tudi kot posplošitev izreka Gerstenhaberja in Hesselinka o delni urejenosti nilpotentnih orbit. Nedavni dogodki na področju analize podatkov so odprli popolnoma nove perspektive. Navdih za sedanje raziskave izhajajo iz povezav računskih metod, razvitih v okviru teorije reprezentacij, do algoritmov strojnega učenja. Te povezave vključujejo nove algoritme, razvite za preučevanje pomembnih invariant, kot so komutativnost in faktorizacija matrik. Te invariante so zelo pomembne na bližnjih področjih analize podatkov in zlivanja podatkov. V naši raziskavi se bomo osredotočili na gradnjo novih algoritmov za izračun centralizatorjev danega razreda matrik nad različnimi kolobarji. Ker te matrike niso definirane nad poljem, temveč denimo na kolobarjih polinomov, je pri razvijanju takih matematičnih teorij potrebno razviti drugačne pristope od klasičnih. Izhodišče za naše raziskave bo povezovanje grafov s temi razredi matrik in prevajanje problemov, ki vključujejo matrike, na probleme, ki vključujejo ostale diskretne strukture. Naš pristop do zgornjega problema vključuje kombinatornične, homološke, geometrijske predstavitve ter teoretične in računske metode. Te metode predstavljajo kombinacijo klasičnih in novih metod, ki izvirajo iz strojnega učenja. Utemeljitev takšne izbire metod je v tem, da je to eden temeljnih pristopov, ki lahko v kratkem časovnem obdobju prinesejo zelo pomembne rezultate. Raziskovalci iz obeh držav imajo izkušnje pri delu na podobnih problemih iz preteklosti, vendar je vsaka ekipa obravnavala ta vprašanja z drugačnega vidika. Raziskovalci iz Slovenije imajo veliko izkušenj s problemi komutirajočih matrik in nilpotentnih orbit ter z ustvarjanjem algoritmov računanje s temi množicami matrik, medtem ko raziskovalci iz Bosne in Hercegovine zelo dobro razumejo probleme reprezentacij algebraičnih grup in stopničene algebre. Zato verjamemo, da bo skupno sodelovanje obeh ekip omogočilo reševanje nekaterih globljih problemov, ki zahtevajo znanje iz več matematičnih področij.