Naslov magistrskega dela: Programski pristop k domnevi PPT2

Povzetek:

Domneva PPT2 trdi, da kompozitum poljubnih dveh PPT-preslikav, uniči prepletenost. Dokazana je za preslikave na matrikah velikosti do $3 times 3$ in za več strukturiranih družin, v splošnem pa ostaja odprta; najmanjši odprti primer, $4 times 4$, v tem delu napademo računsko. Razvijemo ponovljiv cevovod v jeziku Julia, ki (i) s konstrukcijo Klepa, McCullougha, Šivica in Zalarja množično izdeluje dokazano nerazcepne priče prepletenosti iz pozitivnih, a ne popolnoma pozitivnih preslikav; vsak certifikat po rešitvi semidefinitnega programa racionaliziramo, tako da je vsaka shranjena priča eksaktna -- 10.000 prič zgradimo v manj kot uri, za rede velikosti hitreje od primerljivih implementacij; (ii) generira mejno prepletene PPT-kandidate z generičnim naključnim vzorčenjem, z vzorčenjem, invariantnim na delno transpozicijo, ter z ekstrakcijo iz prič; in (iii) domnevo preizkusi s presejanjem več deset tisoč kompozitumov ter z izmenično optimizacijo, ki mnogoterost kompozitumov PPT-preslikav preiskuje neposredno. Protiprimera ne najdemo. Knjižnica prič se izkaže za zbirko detektorjev enega samega stanja: vsaka priča zazna v bistvu le stanje, ki je bilo iz nje ekstrahirano. Osrednja ugotovitev je ostro nasprotje: vsaka od 10.000 prič doseže negativni optimum nekje na stožcu PPT, na mnogoterosti kompozitumov pa se ne sproži nobena -- natanko kar pričakujemo, če domneva v dimenziji štiri drži. To nakazuje, da morebitni protiprimer, če sploh obstaja, leži na podmnožici kompozitumov z mero nič, ki je naključno iskanje ne doseže. Spotoma konstrukcija ustvari eksplicitne bikvadratne $4 times 4$-forme, ki so pozitivne, a niso vsote kvadratov, kar je znano težek problem v realni algebraični geometriji.

Mentor: doc. dr. Aljaž Zalar

Somentor: prof. dr. Igor Klep

Komisija za zagovor:

prof. dr. Erik Štrumbelj (predsednik),

doc. dr. Tomaž Dobravec (član),

doc. dr. Aleš Smrdel (član).

Prostor: Predavalnica 2